Question

10．若a是f（x）=sinx-xcosx在x∈（0，2π）的一个零点，则下列结论中正确的有①②③．
①$a∈（π，\frac{3π}{2}）$；                     
②$?x∈（0，2π），cosa≤\frac{sinx}{x}$；
③?x∈（0，π），x-a＜cosx-cosa；   
④?x∈（0，2π），asinx＜xsina．

Answer 1

分析 求导f′（x）=cosx-cosx+xsinx=xsinx，从而由导数的正负可判断函数的单调性，再结合函数零点的判定定理可得零点$a∈（π，\frac{3π}{2}）$；
令F（x）=$\frac{sinx}{x}$，x∈（0，2π），求导F′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，从而可判断当x∈（0，a）时，F′（x）＜0，当x∈（a，2π）时，F′（x）＞0，从而可证明$\frac{sinx}{x}$≥$\frac{sina}{a}$=cosa；
令F（x）=x-cosx，求导F′（x）=1+sinx≥0；从而判断函数的单调性，从而可得x-a＜cosx-cosa；
当x∈（0，2π）时，asinx＜xsina可化为$\frac{sinx}{x}$＜$\frac{sina}{a}$；由以上讨论可知$\frac{sinx}{x}$≥$\frac{sina}{a}$恒成立；故④不成立．

解答 解：∵f（x）=sinx-xcosx，
∴f′（x）=cosx-cosx+xsinx=xsinx，
故f（x）在（0，π）上是增函数，在（π，2π）上是减函数；
而f（0）=0，f（π）=0-π•（-1）=π＞0，f（$\frac{3π}{2}$）=-1-0=-1＜0；
故$a∈（π，\frac{3π}{2}）$，故①正确；
令F（x）=$\frac{sinx}{x}$，x∈（0，2π），则F′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
则当x∈（0，a）时，F′（x）＜0，当x∈（a，2π）时，F′（x）＞0，
故F（x）≥F（a），
即$\frac{sinx}{x}$≥$\frac{sina}{a}$=cosa；
故②正确；
令F（x）=x-cosx，F′（x）=1+sinx≥0；
故F（x）=x-cosx在R上是增函数，
又∵当x∈（0，π），x＜a；
∴x-cosx＜a-cosa，
即x-a＜cosx-cosa；
故③正确；
当x∈（0，2π）时，asinx＜xsina可化为
$\frac{sinx}{x}$＜$\frac{sina}{a}$；
而由以上讨论可知，$\frac{sinx}{x}$≥$\frac{sina}{a}$恒成立；
故④不成立；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了导数的综合应用及三角函数的化简与应用，特别考查了构造函数的方法证明不等式，属于难题．