Question

5．一个正三角形的两个顶点在抛物线y²=ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36$\sqrt{3}$，则a=$±2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设另外两个顶点的坐标分别为（ t，$\frac{\sqrt{3}}{3}t$）、（ t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}t$）、代入抛物线方程可得a、t方程，利用正三角形的面积推出第二个方程，求解a即可．

解答 解：由题意可得，正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，设另外两个顶点的坐标分别为（ t，$\frac{\sqrt{3}}{3}t$）、（ t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}t$）、把顶点（ t，$\frac{\sqrt{3}}{3}t$）代入抛物线方程可得 $\frac{1}{3}$t²=ta，解得a=$\frac{1}{3}t$，
正三角形的边长为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}t$，
故这个正三角形的面积：$\frac{\sqrt{3}}{4}（\frac{2\sqrt{3}}{3}t）^{2}$=36$\sqrt{3}$，解得t=$±6\sqrt{3}$，
a=±2$\sqrt{3}$．
故答案为：$±2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．