Question

13．已知函数f（x）（x∈R）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x+1），则满足不等式f（log₃（x+2））+f（2）＞0的x的取值范围是（-2，-$\frac{17}{9}$）．

Answer 1

分析 运用奇函数的定义和对数函数的单调性，即可得到f（x）在R上递减，f（log₃（x+2））+f（2）＞0可化为
log₃（x+2）＜-2，运用对数函数的单调性，可得0＜x+2＜$\frac{1}{9}$，解得即可得到x的取值范围．

解答 解：函数f（x）（x∈R）是奇函数，
即有f（-x）=-f（x），
且f（0）=0，
当x＞0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x+1），
由对数函数的单调性可得f（x）在x＞0上递减，
由奇函数的性质可得f（x）在x＜0上递减，
则f（x）在R上递减，
f（log₃（x+2））+f（2）＞0即为
f（log₃（x+2））＞-f（2），
即有f（log₃（x+2））＞f（-2），
由f（x）在R上递减，可得log₃（x+2）＜-2，
即有0＜x+2＜$\frac{1}{9}$，
解得-2＜x＜-$\frac{17}{9}$．
故答案为：（-2，-$\frac{17}{9}$）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意运用定义和性质，主要考查对数函数的单调性的运用，属于中档题．