Question

3．数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=2^1-2n，求通项公式{a_n}．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系，利用作商法即可得到结论．

解答 解：∵a_na_n+1=2^1-2n，
∴当n≥2时，a_n-1a_n=2^1-2（n-1），
两式作商得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{1-2n}}{{2}^{1-2（n-1）}}$=2^-2=$\frac{1}{4}$，
则当n是奇数和偶数时，数列{a_n}分别是公比数列，
∵a₁=1，a_na_n+1=2^1-2n，
∴a₂=2^1-2=$\frac{1}{2}$，
则当n是奇数时，a_n=1•（$\frac{1}{4}$）^n-1，
当n是奇偶数时，a_n=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{4}$）^n-1，
故数列的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{4}）^{n-1}，}&{n是奇数}\\{\frac{1}{2}•（\frac{1}{4}）^{n-1}，}&{n是偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，利用数列的递推关系是解决本题的关键．