Question

8．函数y=$\frac{\sqrt{2x-{x}^{2}}}{x+1}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 先求函数的定义域，然后两边平方，将式子整理为关于x的一元二次方程，该方程有解，则判别式非负构造出关于y的不等式，解得y的最值，并求出取得最值时对应的x的值是否在定义域内即可．

解答 解：由题意得2x-x²≥0得0≤x≤2，故定义域为[0，2]．
将原式两边平方整理后得：（y²+1）x²+（2y²-2）x+y²=0，
该方程有实数解，所以△=（2y²-2）²-4y²（y²+1）≥0．
解得$y≤\frac{\sqrt{3}}{3}$．将$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$代入原方程得x=$\frac{1}{2}$．符合题意．
故${y}_{max}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了判别式法求函数的值域，要注意取得最值时对应的自变量是否在函数的定义域内取值．