Question

20．已知离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P是椭圆C上的一点，点A、A′分别为椭圆的左、右顶点，直线PA与y轴交于点M，直线PA′与y轴交于点N，求|OM|²+|ON|²（O为坐标原点）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由离心率的值、椭圆经过点（1，$\frac{3}{2}$），及a、b、c之间的关系，求出a、b的值，进而得到椭圆C的方程．
（2）由于P是椭圆C上的一点，得到P点的坐标满足的关系式，求出直线PA与直线PA′的方程，进而得到点M，N的坐标，即可得到|OM|²+|ON|²的最小值．

解答 解：（1）由于椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，则a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
又由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{3}{2}$），则c²=1，
故a=2，b=$\sqrt{3}$，
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设P（m，n），
由于P是椭圆C上的一点，则$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$，即4-m²=$\frac{4}{3}{n}^{2}$，①
又由点A、A′分别为椭圆的左、右顶点，直线PA与y轴交于点M，直线PA′与y轴交于点N，
则直线PA：y=$\frac{n}{m+2}$（x+2），直线PA′：y=$\frac{n}{m-2}$（x-2），
令x=0，得M（0，$\frac{2n}{m+2}$），N（0，$\frac{-2n}{m-2}$），
则|OM|²+|ON|²=（$\frac{2n}{m+2}$）²+（$\frac{-2n}{m-2}$）²，
将①代入得|OM|²+|ON|²=$\frac{6{m}^{2}+24}{4-{m}^{2}}=-6+\frac{48}{4{-m}^{2}}$，
由于0≤m²＜4，故当m²=0时，|OM|²+|ON|²取最小值6．

点评 本题考查椭圆的标准方程和简单性质，考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．