Question

12．设f（x）表示的是数位为x的“成功数“的数目，成功数的定义为：数位之和相加为5的正整数．如满足f（1）的只有5，则f（1）=1，满足f（2）的有14，41，23，32，50 则f（2）=5 求：
（1）推导出f（x）的解析式；
（2）在f（1），f（2），f（3）…f（2014）中有多少个的个位数字是1？

Answer 1

分析 这是组合的应用题，可运用放置隔板法，由不定方程x₁+x₂+…+x_n=m（m≤n，m，n∈N⁺）的非负整数解个数，相当于在这n+m-1个间隔中放置m个隔板，隔板之间的球的个数就相当于y_i．这样共有放置隔板的方法为${C}_{n+m-1}^{m}$，这就是解的个数．以及组合数公式：${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$=${C}_{n+1}^{m}$，${C}_{n}^{m}$=${C}_{n}^{n-m}$，可得
（1）讨论x=1，2，3，4，…考虑最高位数字为1，2，3，4，5，即有${C}_{x+2}^{4}$，${C}_{x+1}^{3}$，…，${C}_{x-2}^{0}$．再求和即可得到；
（2）讨论x=1，2，3，4，…，2014，考虑最高位数字为1，2，3，4，5，即有${C}_{3}^{3}$，${C}_{4}^{3}$，${C}_{5}^{3}$，…，${C}_{2015}^{3}$，再求和计算即可得到．

解答 解：由不定方程x₁+x₂+…+x_n=m（m≤n，m，n∈N⁺）的非负整数解个数，
即为（x₁+1）+（x₂+1）…+（x_n+1）=m+n，
令y_i=x_i+1，那么y_i都为正整数代入原方程得：y₁+y₂+…+y_n-n=m，
即y₁+y₂+..+y_n=n+m，
一排n+m个球当中，有n+m-1个间隔，
每组解（y₁，y₂，…，y_n）相当于在这n+m-1个间隔中放置m个隔板，
隔板之间的球的个数就相当于y_i．
这样共有放置隔板的方法为${C}_{n+m-1}^{m}$，这就是解的个数．
以及组合数公式：${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$=${C}_{n+1}^{m}$，${C}_{n}^{m}$=${C}_{n}^{n-m}$，可得
（1）当x=1时，f（1）=1=${C}_{4}^{4}$；
当x=2时，f（2）=5=${C}_{5}^{4}$，
当x=3时，f（3）=${C}_{5}^{4}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{2}^{1}$+${C}_{1}^{0}$=${C}_{6}^{4}$；
…
即有f（x）=${C}_{x+2}^{4}$+${C}_{x+1}^{3}$+…+${C}_{x-2}^{0}$=${C}_{x+3}^{4}$；
（2）当x=2时，个位数字为1的有41，即1个，即为${C}_{3}^{3}$个；
当x=3时，个位数字为1的有131，221，311，401，即4个，即为${C}_{4}^{3}$个；
当x=4时，个位数字为1的有${C}_{4}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{2}^{1}$+${C}_{1}^{0}$=${C}_{5}^{3}$个；
当x=5时，个位数字为1的有${C}_{5}^{3}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{3}^{1}$+${C}_{2}^{0}$=${C}_{6}^{3}$个；
…
当x=2014时，个位数字为1的有${C}_{2014}^{3}$+${C}_{2013}^{2}$+${C}_{2012}^{1}$+${C}_{2011}^{0}$=${C}_{2015}^{3}$，
综上可得，共有${C}_{3}^{3}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{2015}^{3}$=${C}_{4}^{4}$+${C}_{4}^{3}$+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{2015}^{3}$
=${C}_{5}^{4}$+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{2015}^{3}$=${C}_{6}^{4}$+…+${C}_{2015}^{3}$=…=${C}_{2016}^{4}$．
则有${C}_{2016}^{4}$个的个位数字是1．

点评 本题主要考查新定义的理解和运用，重点考查组合数公式的运用和化简，以及组合应用题的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．