Question

7．已知数列{a_n}、{b_n}都是项数相同的等比数列，判断下列数列是等比数列是①②③⑦⑧．
①{a_n•b_n}；②{a_n²}；③{a_n•a_n+1}；④{k•a_n}；⑤{a_n+b_n}；⑥{a_n+a_n+1}；⑦{$\frac{1}{{a}_{n}}$}；⑧{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}；⑨{a_n+2}；{a_n+2}．

Answer 1

分析 根据等比数列的定义分别进行验证即可．

解答 解：设数列{a_n}、{b_n}的公比分别为p，q，
则①当n≥2时，$\frac{{a}_{n}•{b}_{n}}{{a}_{n-1}•{b}_{n-1}}$=$（\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}）•（\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}）$=pq为常数，
故数列{a_n•b_n}为等比数列；
②当n≥2时，$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n-1}}^{2}}$=$（\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}）^{2}$=p²为常数，
故{a_n²}为等比数列；
③当n≥2时，$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}•{a}_{n}}={p}^{2}$为常数，
故数列{a_n•a_n+1}为等比数列；
④若k=0，则{k•a_n}不是等比数列，
若k≠0，则{k•a_n}是等比数列；
⑤当p≠q时，数列{a_n+b_n}不是等比数列；
⑥若a_n=（-1）ⁿ，满足数列{a_n}是等比数列，但a_n+a_n+1=0．则数列{a_n+a_n+1}不一定是等比数列；
⑦{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是公比为$\frac{1}{p}$的等比数列，
⑧{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是公比$\frac{p}{q}$的等比数列；
⑨{a_n+2}不是等比数列；
{a_n+2}是公比为p的等比数列，
故答案为：①②③⑦⑧

点评 本题主要考查等比数列的判断，根据等比数列的定义和性质是解决本题的关键．