Question

14．已知平面内$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角相等，则|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$的长度及与三已知向量的夹角．

Answer 1

分析 平面内向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角相等，得到三个向量所成的角都是120°，根据模长公式表示出要求的向量的模长，根据所给的条件得到模长的值．把所给的向量代入求模长的公式，根据已知向量的模长和向量之间的夹角求出向量的夹角的余弦值，得到两个向量的夹角

解答 解：∵平面内向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成的角相等，
∴三个向量所成的角都是120°，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{c}$|²+$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=1+4+9-2-6-3=3
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$，
设$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$两个向量的夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|}$=$\frac{1-1-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}×1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴两个向量的夹角是$\frac{5π}{6}$，
即$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$与三个向量之间的夹角是$\frac{5}{6}$π．

点评 本题考查利用向量的数量积表示向量的夹角和向量的模长公式的应用，本题解题的关键是正确利用向量的模长公式和求夹角的公式．本题是一个基础题