Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（{a＞b＞0}）的一个焦点为F（2，0），离心率为 $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．过焦点F 的直线l 与椭圆C交于 A，B两点，线段 AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N 两点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求四边形AMBN 面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出；
（II）当直线l的斜率不存在时，A$（2，\frac{\sqrt{6}}{3}）$，B$（2，-\frac{\sqrt{6}}{3}）$，|MN|=$2\sqrt{6}$，S_AMBN=$\frac{1}{2}|MN||AB|$=4．当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（-x₃，-y₃）．点M，N到直线l的距离分别为d₁，d₂．与椭圆方程联立化为（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，利用根与系数的关系、弦长公式|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$．y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=$\frac{-4k}{1+3{k}^{2}}$，中点坐标公式可得：线段AB的中点D$（\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}，\frac{-2k}{1+3{k}^{2}}）$，直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．与椭圆方程联立解得${y}_{3}^{2}$=$\frac{2}{1+3{k}^{2}}$，x₃=-3ky₃．S_{四边形AMBN}=$\frac{1}{2}|AB|（{d}_{1}+{d}_{2}）$，当k=0时，S_{四边形AMBN}=$4\sqrt{3}$．

解答 解：（I）由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a²=6，b²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（II）当直线l的斜率不存在时，A$（2，\frac{\sqrt{6}}{3}）$，B$（2，-\frac{\sqrt{6}}{3}）$，|MN|=$2\sqrt{6}$，S_AMBN=$\frac{1}{2}|MN||AB|$=4．
当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（-x₃，-y₃）．
点M，N到直线l的距离分别为d₁，d₂．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，化为（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
∴x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$．
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}）^{2}-\frac{4×（12{k}^{2}-6）}{1+3{k}^{2}}]}$=$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$．
y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=$\frac{-4k}{1+3{k}^{2}}$，
∴线段AB的中点D$（\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}，\frac{-2k}{1+3{k}^{2}}）$，
∴直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+3ky=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，解得${y}_{3}^{2}$=$\frac{2}{1+3{k}^{2}}$，x₃=-3ky₃．
S_{四边形AMBN}=$\frac{1}{2}|AB|（{d}_{1}+{d}_{2}）$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$×$（\frac{|k{x}_{3}-{y}_{3}-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}+\frac{|-k{x}_{3}+{y}_{3}-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）$
=$\frac{\sqrt{6}\sqrt{1+{k}^{2}}|2k{x}_{3}-2{y}_{3}|}{1+3{k}^{2}}$
=$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{1+{k}^{2}}|-3{k}^{2}{y}_{3}-{y}_{3}|}{1+3{k}^{2}}$
=$4\sqrt{\frac{3{k}^{2}+3}{1+3{k}^{2}}}$=4$\sqrt{1+\frac{2}{1+3{k}^{2}}}$≤$4\sqrt{3}$，当k=0时，取得等号；
综上可得：四边形AMBN的面积的最大值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式、四边形面积最大值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．