Question

20．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PB=PD，E为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE；
（3）若∠DAB=60°，BP=BD=PC，求BP与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）通过连接底面的对角线，进一步利用三角形的中位线，把线线平行转化成线面平行．
（2）进一步根据线线垂直转化成线面垂直，转化成面面垂直．
（3）利用棱锥的棱长关系式，得到三棱锥P-BDC为正三棱锥，进一步求出线面的夹角，最后转化出结果．

解答 证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接OE，
已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，E为PA的中点．
所以：O为AC的中点，
所以：在△APC中，OE∥PC．
OE?平面BDE，CP?平面BDE，
所以：PC∥平面BDE．
（2）由于底面ABCD是菱形，
所以：AC⊥BD，
又BP=DP，
所以：△DBP是等腰三角形．
PO⊥BD，
则：BD⊥平面PAC，
BD?平面BDE，
则：平面PAC⊥平面BDE．
（3）在底面中，∠DAB=60°，
所以：△BDC为等边三角形．
又BP=BD=PC，
所以：三棱锥P-BDC为正三棱锥．
设：棱长为x，
则：BD=BC=DC=PD=PB=PC=x，
点P在下底面的射影为△BDC的中心F．
进一步求得：BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
由于：PF⊥底面ABCD，
所以：∠PBF为BP与底面ABCD的夹角．
则：cos∠PBF=$\frac{PF}{BP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
所以：sin∠PBF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，线面的夹角及相关的运算问题．