Question

5．如图，在直三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=2，M为棱AA₁上一点且B₁M与平面ACC₁所成角为30°，确定M的位置．

Answer 1

分析 以BC，BB₁，BA为x，y，z轴建立空间坐标系，确定相关的点的坐标，求出平面ACC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），根据B₁M与平面ACC₁所成角为30°，得出$\overrightarrow{{B}_{1}M}$与$\overrightarrow{n}$成角为60°，
根据向量的数量积得出点的位置．

解答 解：以BC，BB₁，BA为x，y，z轴建立空间坐标系，
∵AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=2，
∴B（0，0，0），A（0，0，1），C（1，0，0），B₁（0，2，0），M（0，y，1），C₁（1，2，0）
∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（0，y-2，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，2，0），
∵平面ACC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-{z}_{1}=0}\\{2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$
令x₁=1，y₁=0，z₁=1，
∴$\overrightarrow{n}$=（1.0，1），
∵B₁M与平面ACC₁所成角为30°
∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}$与$\overrightarrow{n}$成角为60°，
∴根据向量的数量积得出：1=$\sqrt{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{（y-2）^{2}+1}$，0≤y≤2
解得：y=3（舍去），y=1，
∴M（0，1，1）
故M是AA₁的中点．

点评 本题考查了空间直线平面垂直，所成的角的问题，建立坐标系，运用向量的数量积求解，计算要仔细认真，题目不难，容易出错．