Question

16．已知函数f（x）=x²（x-a）+bx
（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若b=0，不等式$\frac{f（x）}{x^2}$-1nx+1≥0对任意的x∈[${\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式方程后再化为一般式；
（Ⅱ）由b=0化简不等式$\frac{f（x）}{x^2}$-1nx+1≥0，并分离出参数a，构造函数g（x）=x-lnx+1，再求出g′（x）以及g（x）的单调性、最小值，即可求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，a=3、b=l，则f（x）=x²（x-3）+x=x³-3x²+x，
所以f′（x）=3x²-6x+1，
则在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=3-6+1=-2，
又f（1）=1-3+1=-1，
所以在点（1，f（1））处的切线方程y+1=-2（x-1），
即2x+y-1=0；
（Ⅱ）由b=0得f（x）=x²（x-a），
因为$\frac{f（x）}{x^2}$-1nx+1≥0对任意的x∈[${\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
所以x-lnx+1≥a对任意的x∈[${\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
设g（x）=x-lnx+1，则$g′（x）=1-\frac{1}{x}$，
令$g′（x）=1-\frac{1}{x}$=0，解得x=1，
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0；
所以函数g（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
则函数g（x）的最小值是g（1）=2，即a≤2，
所以a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查求导公式和求导法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、最值的关系，考查分离参数法求参数的范围，属于中档题．