Question

8．已知函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）
（Ⅰ） 当a＜0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 当-3＜a＜-2时，若?λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x），根据a的值得情况分类讨论，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，分别求出函数的增区间和减区间；
（Ⅱ）?λ₁，λ₂∈[1，3]，使得|f（λ₁）-f（λ₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，等价于|f（λ₁）-f（λ₂）|_max＞（m+ln3）a-2ln3，而|f（λ₁）-f（λ₂）|_max=f（x）_max-f（x）_min，由（Ⅰ）利用单调性可求得f（x）的最大值、最小值，再根据a的范围即可求得m的范围

解答 解：（Ⅰ）依题意，f′（x）=$\frac{2-a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a=$\frac{2a{x}^{2}+（2-a）x-1}{{x}^{2}}$=$\frac{a（2x-1）（x+\frac{1}{a}）}{{x}^{2}}$，（x＞0），
当-2＜a＜0时，-$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，得0＜x$＜\frac{1}{2}$或x＞$\frac{1}{a}$，令f′（x）＞0，得$\frac{1}{2}$＜x＜-$\frac{1}{a}$；
当a=-2时，f′（x）=-$\frac{（2x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≤0．
当a＜-2时，-$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，得x＜-$\frac{1}{a}$或a＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＞0，得-$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$；
综上所述：
当-2＜a＜0时时，f（x）的单调递减区间是（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{a}$，+∞），单调递增区间是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）；
当a＜-2时，f（x）的单调递减区间是（0，-$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞），单调递增区间是（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）；
当a=-2时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞））
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当-3＜a＜-2时时，f（x）在x∈[1，3]单调递减．
f（x）_max=f（1）=-1； 
$f{（x）_{min}}=f（3）=-\frac{17}{3}+3ln3$，
$|f（{λ_1}）-f（{λ_2}）{|_{max}}=f（1）-f（3）=\frac{14}{3}-3ln3$，
∴$\frac{14}{3}-3ln3＞{m^2}-\frac{m}{3}-3ln3$，
得$-2＜m＜\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了利用导数研切线方程，利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的增减，同时要注意单调区间是定义域的子集，即先要求出函数的定义域．同时考查了函数的恒成立问题，对于恒成立，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法解决．属于难题