Question

13．如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，A₁A=2，点E是棱CC₁的中点
（Ⅰ）求异面直线AE与BD₁所成角的余弦值．
（Ⅱ）求直线BD₁与平面AB₁E所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先建立空间直角坐标系，进一步求出空间的点的坐标，进一步求出$\overrightarrow{AE}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{{BD}_{1}}=（-1，-1，2）$，最后利用向量的夹角求出结果．
（Ⅱ）根据上部的结论，利用平面的法向量求出平面的法向量与直线的夹角，最后转化成直线与平面的夹角．

解答 解：（Ⅰ）根据已知条件，建立空间直角坐标系D-xyz，
由于：在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，A₁A=2，点E是棱CC₁的中点，
所以：A（1，0，0），E（0，0，1），B（1，1，0，），$\begin{array}{c}{D}_{1}\end{array}\right.$（0，0，2），B₁（1，1，2），
则：$\overrightarrow{AE}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{{BD}_{1}}=（-1，-1，2）$．
设：异面直线AE与BD₁所成角为θ，
则$cosθ=\left|\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{BD}_{1}}}{\left|\overrightarrow{AE}\right|\left|\overrightarrow{{BD}_{1}}\right|}\right|$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）设平面AB₁E的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
根据（Ⅰ）的点的坐标进一步求出：$\overrightarrow{{AB}_{1}}=（0，1，2）$，$\overrightarrow{AE}=（-1，0，1）$
则：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{AB}_{1}}•\overrightarrow{n}=0\\ \overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$
解得：$\overrightarrow{n}=（1，-2，1）$
设直线BD₁与平面AB₁E所成角为α，
则：sinα=$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{BD}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{BD}_{1}•\overrightarrow{n}}}{\left|\overrightarrow{n}\right||\overrightarrow{{BD}_{1}|}}$=$\frac{1}{2}$
所以直线BD₁与平面AB₁E所成角为30°，
所以直线BD₁与平面AB₁E所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的知识要点：空间直角坐标系的应用，法向量的应用，利用向量的夹角公式求异面直线的夹角，利用法向量求线面的夹角问题，及相关的运算问题．