Question

3．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$）
• B． （$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$，1）
• C． （$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，1）
• D． （0，$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$）

Answer 1

分析 如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：A$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$．根据△ABC是锐角三角形，可得∠BAD＜45°，且1＞$\frac{c}{\frac{{b}^{2}}{a}}$$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2}+\sqrt{2}e-1＞0}\\{{e}^{2}+e-1＜0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：如图所示，
设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：${y}^{2}=\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，
取y=$\frac{{b}^{2}}{a}$，A$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$．
∵△ABC是锐角三角形，
∴∠BAD＜45°，
∴1＞$\frac{c}{\frac{{b}^{2}}{a}}$$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化为$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2}+\sqrt{2}e-1＞0}\\{{e}^{2}+e-1＜0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}＜e＜\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．