Question

15．设二次函数f（x）=x²-ax+2（x∈R，a＜0），关于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素．
（1）设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{f（n）-2}{n}$（n∈N^*），则数列{b_n}中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题设条件知a²-4×2=0⇒a=-2$\sqrt{2}$，故f（x）=（x+$\sqrt{2}$）²．a_n=S_n-S_n-1=2n+2$\sqrt{2}$-1，所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3+2\sqrt{2}，（n=1）}\\{2n+2\sqrt{2}-1，（n≥2且n∈{N}^{+}）}\end{array}\right.$．  
（2）求出数列{b_n}的通项，假设数列{b_n}中存在不同的三项构成等比数列，利用等比数列的性质，建立等式，即可得出结论．

解答 解：（1）∵关于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴二次函数f（x）=x²-ax+2（x∈R，a＜0）的图象与x轴相切，
则△=（-a）²-4×2=0，
∵a＜0，
∴a=-2$\sqrt{2}$．
∴f（x）=x²+2$\sqrt{2}$x+2=（x+$\sqrt{2}$）²，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=（n+$\sqrt{2}$）²（n∈N^*）．         
于是，当n≥2，n∈N^*时，a_n=S_n-S_n-1=（n+$\sqrt{2}$）²-[（n-1）+$\sqrt{2}$]²=2n+2$\sqrt{2}$-1，
当n=1时，a₁=S₁=（1+$\sqrt{2}$）²=3+2$\sqrt{2}$，不适合上式．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3+2\sqrt{2}，（n=1）}\\{2n+2\sqrt{2}-1，（n≥2且n∈{N}^{+}）}\end{array}\right.$．           
（2）由（1）知，S_n=n²+2$\sqrt{2}$n+2（n∈N^*）．         
∵b_n=$\frac{f（n）-2}{n}$，
∴b_n=$\frac{f（n）-2}{n}$=$\frac{{n}^{2}+2\sqrt{2}n+2-2}{n}$=n+2$\sqrt{2}$．
假设数列{b_n}中存在三项b_p，b_q，b_r（正整数p，q，r互不相等）成等比数列，则b_q²=b_p•b_r，
即（q+2$\sqrt{2}$）²=（p+2$\sqrt{2}$）（r+2$\sqrt{2}$），
整理，得
（pr-q）²+2$\sqrt{2}$（p+r-2q）=0．  
因为p，q，r都是正整数，所以$\left\{\begin{array}{l}{pr-q=0}\\{p+r-2q=0}\end{array}\right.$，
于是pr-（$\frac{p+r}{2}$）²=0，即（p-r）²=0，从而p=r与p≠r矛盾．
故数列{b_n}中不存在不同的三项能组成等比数列．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解及等比数列性质的研究．第（1）问由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，得到S_n=f（n），然后由此求出数列{a_n}的通项公式，由S_n求通项a_n时注意检验初始项a₁是否满足；第（2）问判断数列{b_n}中是否存在不同的三项能组成等比数列，基本方法是先假设它们成等比数列，再证明问题是否有解．