Question

7．已知函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-ax+1（a＞0）
（1）设A是函数f（x）=x²-mlnx上的定点，且f（x）在A点的切线与y轴垂直，求m的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若存在实数m使函数f（x），h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，求证：m≥-$\frac{1}{3}{a^3}+6a-\frac{22}{3}$．

Answer 1

分析 （1）先求出定点的坐标，通过求导得到方程f′（1）=0，解出m的值即可；
（2）先求出函数的导数，通过讨论m的范围，从而求出函数的单调区间；
（3）先求出f（x），h（x）的公共定域，再求出m=$\frac{{a}^{2}}{2}$，令g（a）=m+$\frac{1}{3}$a³-6a+$\frac{22}{3}$，求出g（a）的导数，得到g（a）的单调性，从而有g（a）≥g（2）=0，问题得证．

解答 解：（1）由题意得：A（1，1），
又f′（x）=2x-$\frac{m}{x}$，∴f′（x）=2-m，
∵f（x）在A点的切线与y轴垂直，
∴f′（1）=0，∴2-m=0，∴m=2；
（2）∵f′（x）=2x-$\frac{m}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-m}{x}$，（x＞0），
∴若m≤0则f（x）在（0，+∞）单调递增，
若m＞0，由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{\frac{m}{2}}$或x＜-$\sqrt{\frac{m}{2}}$（舍），
由f′（x）＜0可得0＜x＜$\sqrt{\frac{m}{2}}$，
∴m＞0时，f（x）的递增区间是（$\sqrt{\frac{m}{2}}$，+∞），递减区间是（0，$\sqrt{\frac{m}{2}}$），
综上可得：m≤0时，f（x）增区间为（0，+∞），无减区间，
m＞0时，f（x）的递增区间是（$\sqrt{\frac{m}{2}}$，+∞），递减区间是（0，$\sqrt{\frac{m}{2}}$）；
（3）易知f（x），h（x）的公共定域为（0，+∞），
∵在（0，+∞）上，h（x）的递增区间是（$\frac{a}{2}$，+∞），递减区间是（0，$\frac{a}{2}$），
∴若存在实数m使函数f（x），h（x）在公共定域上具有相同的单调性，
再由（2）可得m=0且$\sqrt{\frac{m}{2}}$=$\frac{a}{2}$，解得：m=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
令g（a）=m+$\frac{1}{3}$a³-6a+$\frac{22}{3}$，
则g（a）=$\frac{1}{3}$a³+$\frac{1}{2}$a²-6a+$\frac{22}{3}$，（a＞0），
∴g′（a）=a²+a-6，（a＞0），
由g′（a）＞0，解得：a＜-3，（舍），或a＞2，
由g′（a）＜0，解得：0＜a＜2，
∴g（a）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；
∴g（a）_min=f（2）=$\frac{8}{3}$+2-12+$\frac{22}{3}$=0，
∴g（a）≥g（2）=0，即m≥-$\frac{1}{3}$a³+6a-$\frac{22}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查了导数的应用，考查曲线的切线方程，本题有一定的难度．