Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（{x}^{2}-2ax）{e}^{x}，}&{x＞0}\\{bx，}&{x≤0}\end{array}\right.$，g（x）=clnx+b，且x=$\sqrt{2}$是函数y=f（x）的极值点，直线l是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线．
（1）求实数a的值和直线l的方程．
（2）若直线l与函数y=g（x）的图象相切于点P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出x＞0的f（x）的导数，由条件可得f′（$\sqrt{2}$）=0，解得a=1，可得函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出g（x）的导数，求得g（x）在切点处的切线的斜率和切线方程，由两直线重合的条件可得b的解析式，记h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2），其中x₀∈[e^-1，e]，运用导数求得单调区间，极值、最值，即可得到b的范围．

解答 解：（1）x＞0时，f（x）=（x²-2ax）e^x，
f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
由已知，f′（$\sqrt{2}$）=0，即有[2+2$\sqrt{2}$（1-a）-2a]${e}^{\sqrt{2}}$=0，
即 2+2$\sqrt{2}$（1-a）-2a=0，得a=1，
所以x＞0时，f（x）=（x²-2x）e^x，
f′（x）=（x²-2）e^x，
即f（2）=0，f′（2）=2e²，
则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线l的方程为：y=2e²x-4e²；
（2）由于直线l与函数g（x）的图象相切于点P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，
即y₀=clnx₀+b，g′（x）=$\frac{c}{x}$
所以切线l的斜率为g′（x₀）=$\frac{c}{{x}_{0}}$，
所以切线l的方程为y-y₀=$\frac{c}{{x}_{0}}$（x-x₀），
即l的方程为：y=$\frac{c}{{x}_{0}}$x-c+b+clnx₀，
于是可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{{x}_{0}}=2{e}^{2}}\\{-c+b+cln{x}_{0}=-4{e}^{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{c=2{e}^{2}{x}_{0}}\\{b=c-cln{x}_{0}-4{e}^{2}}\end{array}\right.$，
所以b=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]，
记h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2），其中x₀∈[e^-1，e]，
h′（x₀）=2e²（1-（lnx₀+1））=-2e²lnx₀，
令h′（x₀）=0，得x₀=1，
当x∈[e^-1，1）时，h′（x₀）＞0，h（x₀）递增，
当x∈（1，e]时，h′（x₀）＜0，h（x₀）递减．
即有x₀=1处b取得极大值，也为最大值，且为-2e²，
当x₀=e^-1时，b=4e-4e²，当x₀=e时，b=-4e²，
即有b的最小值为-4e²，
则b的取值范围是[-4e²，-2e²]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和直线方程的运用，正确求导和构造函数以及运用直线重合的条件是解题的关键．