Question

19．若椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=l（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{3}{5}$，且椭圆C的一个焦点与抛物线y²=-12x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点．当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；
（Ⅲ）设P（m，O）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点．过P点斜率为$\frac{4}{5}$的直线l交椭圆于A，B两点，设λ=
丨PA|²+|PB|²．试判断λ的取值是否与m有关，若有关，求出λ的取值范围；若无关，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长，即可写出椭圆的标准方程；
（2）用坐标表示出|MQ|²，利用二次函数的性质可得结论；
（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|PA|²+|PB|²，根据|PA|²+|PB|²的值与m无关．

解答 解：（1）由题意可得：抛物线y²=-12x的焦点（-3，0），
由于离心率e=$\frac{3}{5}$，则a=5，故b=4
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）设Q（x，y），-5≤x≤5
则|MQ|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+16-$\frac{16}{25}$x²=$\frac{9}{25}$x²-4x+20．
由于对称轴为x=$\frac{50}{9}$＞5，∴x=5时，|MQ|²取得最小值
∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=$\frac{4}{5}$（x-m）
由于设P（m，O）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，则-5≤m≤5，
将直线代入椭圆方程，消去y可得2x²-2mx+m²-25=0
则x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{1}{2}$（m²-25），
∴|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=$\frac{41}{25}$[（x₁-m）²+（x₂-m）²]
=$\frac{41}{25}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2m（x₁+x₂）+2m²]
=$\frac{41}{25}$[m²-（m²-25）-2m²+2m²]=$\frac{41}{25}$×25=41
故|PA|²+|PB|²的值与m无关．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查配方法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．