Question

4．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）如果圆柱与三棱锥A-BCE的体积比等于3π，求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的性质可得：AB⊥CE，利用圆的性质可得BE⊥CE，于是CE⊥平面ABE，可得CE⊥BF，利用线面垂直的判定定理即可证明．
（2）设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r；利用圆柱与三棱锥A-BCE的体积比等于3π，可得BE•EC=2r²，BE²+CE²=4r²，解得：BE=EC=r．分别以EB、EC所在直线为x轴、y轴，E为坐标原点，建立如图所示坐标系；利用线面垂直的性质分别求出平面BAC的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，平面CAE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$，利用向量夹角公式即可得出．

解答 （1）证明：∵AB⊥平面BEC，CE?平面BEC，
∴AB⊥CE，
∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE，
∵BE?平面ABE，AB?平面ABE，BE∩AB=B．  
∴CE⊥平面ABE，
∵BF?平面ABE，∴CE⊥BF，
 又BF⊥AE，且CE∩AE=E，
∴BF⊥平面AEC，
又AC?平面AEC，
∴BF⊥AC．
（2）设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r；
V_圆柱=πr²•2r=2πr³．
V_A-BEC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$BE•EC•2r=$\frac{1}{3}$•BE•EC•r
由题意：圆柱与三棱锥A-BCE的体积比等于3π，
∴BE•EC=2r²，
BE²+CE²=4r²，
解得：BE=EC=$\sqrt{2}$r．
分别以EB、EC所在直线为x轴、y轴，E为坐标原点，建立如图所示坐标系；
则E（0，0，0），B（$\sqrt{2}$r，0，0），C（0，$\sqrt{2}$r，0），A（$\sqrt{2}$r，0，2r），
$\overrightarrow{AB}$=（0，0，2r），$\overrightarrow{AC}$=（-$\sqrt{2}$r，$\sqrt{2}$r，-2r），$\overrightarrow{EC}$=（0，$\sqrt{2}$r，0），$\overrightarrow{EA}$=（$\sqrt{2}$r，0，2r），
设平面BAC的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），则由$\overrightarrow{{n}_{1}}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{{n}_{1}}$⊥$\overrightarrow{AB}$得：$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}$=0，
即：-r（$\sqrt{2}$x₁-$\sqrt{2}$y₁+2z₁）=0，2rz₁=0，
取y₁=1得：x₁=1，z₁=0，$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，1，0）．
设平面CAE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），则由$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}⊥\overrightarrow{EA}$得：$\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{EA}$=0
即$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=0}\\{\sqrt{2}r{x}_{2}+2r{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取z₂=-1，解得：y₂=0，x₂=$\sqrt{2}$，∴$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{2}$，0，-1）．
∴$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
由图形可知：二面角B-AC-E为锐二面角，
∴二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了圆柱的性质、线面垂直判定与性质定理、圆的性质、勾股定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．