Question

14．在正四面体S-ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，则直线EF与面ABC所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 做出辅助线，连接AF并延长交BC于H，取线段AF的中点G，连接EG，证出线面角，把线面角放到一个直角三角形中，根据三角函数的定义得到结果，

解答 解：连接SF，则SF⊥平面ABC．连接AF并延长交BC于H，取线段AF的中点G，连接EG，
由E为SA的中点，则EG∥SF，
∴EG⊥平面ABC，
∴∠EFG即为EF与平面ABC所成的角． 
设正四面体的边长为a，则AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，且AF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
在Rt△AGE中，AE=$\frac{1}{2}$a，AG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，∠EGA=90°，
∴EG=AE²-AG²=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a．
在Rt△EGF中，FG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，EG=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，EF=$\frac{a}{2}$，∠EGF=90°，
∴cos∠EFG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
即EF与平面ABC所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面所成的角，本题解题的关键是先做出线面角，再证出线面角，最后把角放到一个三角形中解出结果．