Question

1．已知奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．且f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，函数g（x）=-x²+mx+1-2m．
（1）求证：函数f（x）在区间（-∞，0）上也是增函数；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0；
（3）当x∈[-1，0]时，求使得g（x）＜0，且f[g（x）]＜0恒成立的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，由函数的单调性和奇偶性的定义，即可得证；
（2）f（-1）=-f（1）=0，讨论x＞0，x＜0时，运用函数的单调性，解不等式即可得到解集；
（3）由（2）的结论可得g（x）＜-1在[-1，0]上恒成立，即为-x²+mx+1-2m＜-1，运用参数分离和单调性即可求得m的范围．

解答 （1）证明：令x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，
由f（x）在（0，+∞）上是增函数，
即有f（-x₁）＞f（-x₂），
由奇函数f（x），可得f（-x₁）=-f（x₁），f（-x₂）=-f（x₂），
即有-f（x₁）＞-f（x₂），
即为f（x₁）＜f（x₂），
则有函数f（x）在区间（-∞，0）上也是增函数；
（2）解：f（-1）=-f（1）=0，
当x＞0时，f（x）＜0即为f（x）＜f（1），
由f（x）在（0，+∞）上是增函数，
可得0＜x＜1；
当x＜0时，f（x）＜0即为f（x）＜f（-1），
由f（x）在（-∞，0）上是增函数，
可得x＜-1．
即有不等式的解集为（-∞，-1）∪（0，1）；
（3）解：当x∈[-1，0]时，g（x）＜0，且f[g（x）]＜0恒成立，
由（2）可得g（x）＜-1在[-1，0]上恒成立，
即为-x²+mx+1-2m＜-1，
即m（x-2）＜x²-2，
由-1≤x≤0，可得-3≤x-2≤-2，
令t=x-2（-3≤t≤-2），
则有m＞$\frac{{x}^{2}-2}{x-2}$=$\frac{（t+2）^{2}-2}{t}$=t+$\frac{2}{t}$+4，
由t+$\frac{2}{t}$的导数为1-$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，即有{-3，-2]为增区间，
则t=-2取得最大值，且为4-2-1=1，
则m＞1．
即有实数m的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式和求最值，同时考查不等式恒成立问题转化我求函数的最值问题，运用定义和参数分离方法是解题的关键．