Question

20．已知三个不等式：
①|2x-4|＜5-x；
②$\frac{x+2}{{x}^{2}-3x+2}$≥1；
③2x²+mx-1＜0．
（1）若同时满足①②的x值也满足③，求m的取值范围；
（2）若满足③的x值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围．

Answer 1

分析 先求出①|2x-4|＜5-x，②$\frac{x+2}{{x}^{2}-3x+2}$≥1两个不等式的解集，
（1）由同时满足①②的x值也满足③知，先求同时满足①②的x值的集合，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{2•0+0•m-1＜0}\\{2•{3}^{2}+3m-1≤0}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）由满足③的x值至少满足①和②中的一个得，$\left\{\begin{array}{l}{2•（-1）^{2}-m-1≥0}\\{2•{3}^{2}+m-1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2•0+0•m-1＜0}\\{2•{4}^{2}+4•m-1＜0}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：由|2x-4|＜5-x解得，
-1＜x＜3，
解$\frac{x+2}{{x}^{2}-3x+2}$≥1得，
0≤x＜1或2＜x≤4；
（1）故同时满足①②的x值的区间为
[0，1）∪（2，3）；
则2x²+mx-1＜0的解集包含区间[0，1）∪（2，3）；
故$\left\{\begin{array}{l}{2•0+0•m-1＜0}\\{2•{3}^{2}+3m-1≤0}\end{array}\right.$，
解得，m≤-$\frac{17}{3}$；
（2）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{2•（-1）^{2}-m-1≥0}\\{2•{3}^{2}+m-1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2•0+0•m-1＜0}\\{2•{4}^{2}+4•m-1＜0}\end{array}\right.$，
解得，-17≤m≤1或m＜-$\frac{31}{4}$．

点评 本题考查了不等式的解法及集合间包含关系的应用，属于中档题．