Question

15．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，三棱锥A₁-ABC的体积为$\frac{8}{3}$，求直线A₁B与CC₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析 先通过图形便可知道∠A₁AB便是直线A₁B与CC₁所成角，通过三棱锥的体积公式及直三棱柱的特点可求出AA₁，而AB又可通过已知条件求出，所以在RtABA₁中可求tan∠AA₁B，从而可用反正切表示出∠AA₁B．

解答 解：根据已知条件$\frac{1}{3}•2•A{A}_{1}=\frac{8}{3}$；
∴AA₁=4；
又AB=$2\sqrt{2}$；
AA₁⊥AB；
∴在Rt△ABA₁中tan$∠A{A}_{1}B=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
$∠A{A}_{1}B=arctan\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∵AA₁∥CC₁；
∴∠AA₁B是直线A₁B和CC₁所成角，并且该角为$arctan\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 考查直三棱柱的侧棱和底面垂直，线面垂直的性质，棱锥的体积公式，异面直线所成角的定义及求解方法与过程．