Question

5．已知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-2=0垂直，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₉=$\frac{9}{10}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，根据直线垂直的关系求解切线斜率，以及b，利用裂项法进行求和．

解答 解：函数的导数f′（x）=2x+b，
则f′（1）=2+b，
∵切线l与直线x+3y-2=0垂直，
∴切线斜率k=f′（1）=2+b=3，
解得b=1，即f（x）=x²+x，
则$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则S₉=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{9}-$$\frac{1}{10}$=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$，
故答案为：$\frac{9}{10}$

点评 本题主要考查数列的求和以及导数的几何意义的应用，根据直线求出的条件求出b的值是解决本题的关键．