Question

11．设抛物线y=ax²+bx在第一象限内与直线x+y=4相切，且与x轴所围成图形的面积为S．
（1）用含b的关系式表示a；
（2）求使S达到最大值时的a、b的值和S_max．

Answer 1

分析 （1）设切点（x₀，y₀），根据函数在x₀处的导数等于-1，以及切点在切线上又在曲线上建立方程组，可求出a与b的等式关系，最后求出b的范围即可；
（2）利用定积分表示出此抛物线与x轴所围成的图形的面积为S，然后利用定积分的运算法则求出面积S，最后利用导数研究函数的最值即可，同时求出此时的a和b．

解答 解：（1）因为直线x+y=4与抛物线y=ax²+bx相切，设切点（x₀，y₀）
则f′（x₀）=2ax₀+b=-1，
∴x₀=$\frac{-1-b}{2a}$，
又∵$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}+{y}_{0}=4}\\{{y}_{0}=a{{x}_{0}}^{2}+b{x}_{0}}\end{array}\right.$，
得a=-$\frac{（b+1）^{2}}{16}$，
∵x₀＞0，y₀＞0，得0＜$\frac{-1-b}{2a}$＜4，
即0＜$\frac{8}{b+1}$＜4，解得b＞1，
即有a=-$\frac{（b+1）^{2}}{16}$（b＞1）；
（2）S=${∫}_{0}^{-\frac{b}{a}}$（ax²+bx）dx=（$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²）|${\;}_{0}^{-\frac{b}{a}}$=$\frac{{b}^{3}}{6{a}^{2}}$=$\frac{256{b}^{3}}{6（b+1）^{4}}$，（b＞1），
S′=$\frac{128{b}^{2}（3-b）}{3（b+1）^{5}}$，当b＞3时，S′＜0，S递减，当1＜b＜3时，S′＞0，S递增，
所以在b=3时，S取得极大值，也是最大值，
即a=-1，b=3时，S取得最大值，且S_max=$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查运用导数求单调区间和极值、最值，以及用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于中档题．