Question

6．把半径为R的金属球切削成圆柱形的零件，要使车下来的金属屑最少，那么这个圆柱形零件的高应为多少？

Answer 1

分析 由题意，就是求这个圆柱形零件的最大体积．设圆柱的高为h，可得圆柱的底面半径，求出体积，利用导数求解即可．

解答 解：由题意，就是求这个圆柱形零件的最大体积．
设圆柱的高为h，则圆柱的底面半径为r=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{{h}^{2}}{4}}$，
∴圆柱的体积V=πr²h=π（R²-$\frac{{h}^{2}}{4}$）h（0≤h≤R）V′=πR²-$\frac{3π}{4}$πh²=0，可得h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，
函数在（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R）上单调递增，在（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，+∞）上单调递减，
∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R时，V最大$\frac{4\sqrt{3}}{9}π{R}^{3}$．

点评 本题考查圆柱的体积，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．