Question

18．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁，AC₁⊥A₁B，M，N分别为A₁B₁，AB的中点，
求证：（1）平面B₁CN∥平面AMC₁；
      （2）AM⊥A₁B．

Answer 1

分析 （1）先在四边形AA₁B₁B中，利用一组对边平行且相等证出四边形B₁NAM是平行四边形，从而B₁N∥AM，再结合直线与平面平行的判定定理，可得直线B₁N∥平面AMC₁，再用同样的方法证出CN∥平面AMC₁，最后利用平面与平面平行的判定定理，可以证出平面AMC₁∥平面NB₁C；
（2）先根据直三棱柱的性质，利用线面垂直证出C₁M⊥BB₁，结合等腰三角形A₁B₁C₁中，中线C₁M⊥A₁B₁，利用直线与平面垂直的判定定理，证出C₁M⊥平面AA₁B₁B，从而得到直线C₁M⊥A₁B，再结合已知条件AC₁⊥A₁B，得到A₁B⊥平面AC₁M，结合AM?平面AC₁M，最终得到A₁B⊥AM．

解答 证明（1）∵M，N分别为A₁B₁，AB中点，
∴B₁M∥NA且B₁M=NA，
∴四边形B₁NAM是平行四边形
∴B₁N∥AM
又∵AM?平面AMC，B₁N?平面AMC₁，
∴B₁N∥平面AMC₁
连接MN，
∵矩形BB₁A₁A中，M、N分别是A₁B₁、AB的中点
∴BB₁∥MN且BB₁=MN
∵BB₁∥CC₁且BB₁=CC₁
∴四边形CC₁MN是平行四边形，
∴MC₁∥CN，
∵MC₁?平面AMC，CN?平面AMC₁，
∴CN∥平面AMC₁，
∵CN?平面B₁CN，B₁N?平面B₁CN，CN∩B₁N=N，
∴平面B₁CN∥平面AMC₁；
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
BB₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁M?平面A₁B₁C₁
∴C₁M⊥BB₁
又∵B₁C₁=A₁C₁，M为A₁B₁中点，
∴C₁M⊥A₁B₁，
∵A₁B₁∩BB₁=B₁，A₁B₁、BB₁?平面AA₁B₁B
∴C₁M⊥平面AA₁B₁B，
∵A₁B?平面AA₁B₁B，
∴C₁M⊥A₁B，
又∵AC₁⊥A₁B，C₁M∩AC₁=C₁，C₁M、AC₁?平面AC₁M，
∴A₁B⊥平面AC₁M，
∵AM?平面AC₁M，
∴A₁B⊥AM．

点评 本题在一个特殊的直三棱柱中，通过证明平面与平面平行和两条异面直线互相垂直，着重考查了面面平行的判定定理和线面垂直的判定与性质，属于中档题．