Question

13．已知函数g（x）=me^x-ne^xx³，h（x）=$\frac{lnx}{x}$，f（x）=g（x）-h（x），且函数f（x）在点（1，e）处的切线与直线x-（2e+1）y-3=0垂直．
（1）求m，n的值；
（2）当x∈[-2，0]时，要g（x）＞k恒成立，求k的范围；
（3）证明：f（x）在区间（1，2）上存在唯一零点．

Answer 1

分析 （1）解把g（x），h（x）代入f（x）=g（x）-h（x），求其导函数，由f′（1）与直线x-（2e+1）y-3=0的斜率乘积等于-1，f（1）=e联立求得m，n的值；
（2）把x∈[-2，0]时，g（x）＞k恒成立，转化为k＜g（x）_min在x∈[-2，0]时恒成立，利用导数求g（x）在（-2，-1）上的最小值得答案；
（3）由g′（x）在（1，2）上小于0判断函数g（x）在（1，2）上为减函数，且在（1，2）上有一零点$\root{3}{2}$，同样判断h（x）在（1，2）上为增函数，且h（1）=0，由此可得g（x）与h（x）在（1，2）上有唯一交点，即f（x）=g（x）-h（x）在（1，2）上有唯一零点．

解答 （1）解：由函数g（x）=me^x-ne^xx³，h（x）=$\frac{lnx}{x}$，得
f（x）=g（x）-h（x）=me^x-ne^xx³-$\frac{lnx}{x}$，则${f}^{′}（x）=m{e}^{x}-n（{e}^{x}{x}^{3}+3{e}^{x}{x}^{2}）-\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=me-4ne-1，
直线x-（2e+1）y-3=0的斜率为$\frac{1}{2e+1}$，
由函数f（x）在点（1，e）处的切线与直线x-（2e+1）y-3=0垂直得：$\frac{me-4ne-1}{2e+1}=-1$  ①，
又f（1）=me-ne=e  ②，
联立①②解得：m=2，n=1；
（2）解：g（x）=2e^x-e^xx³，
当x∈[-2，0]时，要使g（x）＞k恒成立，即k＜g（x）_min在x∈[-2，0]时恒成立，
由g（x）=2e^x-e^xx³，得g′（x）=2e^x-（e^xx³+3e^xx²）=e^x（2-x³-3x²）=-e^x（x+1）（x²+2x-2），
当x∈（-2，-1）时，g^′（x）＜0，当x∈（-1，0）时g^′（x）＞0，
∴当x=-1时，g（x）_min=g（-1）=$\frac{3}{e}$，
∴k$＜\frac{3}{e}$；
（3）证明：∵g′（x）=2e^x-（e^xx³+3e^xx²）=e^x（2-x³-3x²）=-e^x（x+1）（x²+2x-2），
当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，函数g（x）在（1，2）上为减函数，且在（1，2）上有一零点$\root{3}{2}$，
h（x）=$\frac{lnx}{x}$，h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，2）上为增函数，且h（1）=0，
∴g（x）与h（x）在（1，2）上有唯一交点，
即f（x）=g（x）-h（x）=2e^x-e^xx³-$\frac{lnx}{x}$在（1，2）上有唯一零点．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，训练了函数零点的判断方法，是压轴题．