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    8．如果数列A：a1，a2，…，am（m∈Z，且m≥3），满足：①ai∈Z，$-\frac{m}{2}≤{a_i}≤\frac{m}{2}$（i=1，2，…，m）；②a1+a2+…+am=1，那么称数列A为“Ω”数列．
    （Ⅰ）已知数列M：-2，1，3，-1；数列N：0，1，0，-1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；
    （Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；
    （Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．

    分析 （Ⅰ）根据定义直接判断即可得解．
    （Ⅱ）假设存在等差数列是“Ω”数列，由a1+a2+…+am=1，得a1+am=$\frac{2}{m}$∉Z，与ai∈Z矛盾，从而可证不存在等差数列为“Ω”数列．
    （Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设Sn为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足-$\frac{m}{2}$+1≤S1≤$\frac{m}{2}$，然后利用反证法，证明即可．

    解答 （本小题共13分）
    解：（Ⅰ）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列．               …（2分）
    （Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．
    证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，
    则由a1+a2+…+am=1  得a1+am=$\frac{2}{m}$∉Z，与ai∈Z矛盾，
    所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．            …（7分）
    （Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：
    设Sn为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），
    任取大于0的一项作为第一项，则满足-$\frac{m}{2}$+1≤S1≤$\frac{m}{2}$，
    假设当2≤n≤m时，$-\frac{m}{2}+1≤{S_{n-1}}≤\frac{m}{2}$
    若Sn-1=0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证-$\frac{m}{2}$+1≤Sn≤$\frac{m}{2}$，
    若Sn-1≠0，则剩下的项必有0或与Sn-1异号的一项，否则总和不是1，
    所以取0或与Sn-1异号的一项作为第n项，可以保证-$\frac{m}{2}$+1≤Sn≤$\frac{m}{2}$．
    如果按上述排列后存在Sn=0成立，那么命题得证；
    否则S1，S2，…，Sm这m个整数只能取值区间[-$\frac{m}{2}$+1，$\frac{m}{2}$]内的非0整数，
    因为区间[-$\frac{m}{2}$+1，$\frac{m}{2}$]内的非0整数至多m-1个，所以必存在Si=Sj（1≤i＜j≤m），
    那么从第i+1项到第j项之和为Si-Sj=0，命题得证．
    综上所述，数列A中必存在若干项之和为0．              …（13分）

    点评 本题主要考查了新定义和数列的应用，解答新定义的试题的关键是把题目中的定义转化已经学过的知识进行解决，属于中档题．

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