Question

2．已知曲线C在矩阵M=$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{array}）$所对应的变换下得到曲线C′：x²+y²=1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若曲线C′在矩阵N所对应的变换下又得到曲线C，求矩阵N．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用曲线C上取点（x，y），在矩阵M=$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{array}）$所对应的变换下得到点（x′，y′），求出坐标之间的关系，代入x′²+y′²=1，可得曲线C的方程；
（Ⅱ）求出|M|，再求出矩阵N=M^-1．

解答 解：（Ⅰ）曲线C上取点（x，y），在矩阵M=$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{array}）$所对应的变换下得到点（x′，y′），则
$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{array}）$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=2x+3y}\end{array}\right.$，
代入x′²+y′²=1，可得x²+（2x+3y）²=1；
（Ⅱ）矩阵N=M^-1，
∵|M|=3，
∴N=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{-\frac{2}{3}}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$．

点评 本题考查矩阵与变换，考查逆矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．