Question

17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上．若△ABC为锐角三角形且满足$\frac{m}{tanC}$=$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 将（a，b）代入直线解析式，再利用正弦定理化简，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数，化简$\frac{m}{tanC}$=$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$，可得m=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}}$，从而由正弦函数的性质即可求得实数m的最小值．

解答 解：在△ABC中，
∵点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上，
∴a•sinA-a•sinB+b•sinB=c•sinC，
再利用正弦定理可得 a²+b²-c²=ab，
故有cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
则角C的值为$\frac{π}{3}$，
∵$\frac{m}{tanC}$=$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$，
∴$\frac{mcosC}{sinC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosAsinB+sinAcosB}{sinAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}$=$\frac{sinC}{sinAsinB}$，
即mcosC=$\frac{si{n}^{2}C}{sinAsinB}$，有m=$\frac{2si{n}^{2}C}{sinAsin（\frac{2π}{3}-A）}$=$\frac{\frac{3}{2}}{sinA（\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}}$，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
∴m_min=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}$=2．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，考查了余弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的最值的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的考查．