Question

9．如图所示，已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
（1）证明：直线：A₁C⊥平面BC₁D；
（2）求点C到平面BC₁D的距离．

Answer 1

分析 （1）利用向量法，证明CA₁⊥BC₁，CA₁⊥BD，即可证明A₁C⊥平面BC₁D；
（2）建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A，D₁，B₁，C₁，的坐标，求出向量 $\overrightarrow{{C}_{1}A}$=（-1，-1，-1），求出平面AB₁D₁的法向量，利用空间向量求解距离的计算公式求解即可．

解答 （1）证明：连接AC交BD于一点O，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又正方体中，AA₁⊥平面ABCD，
所以，AA₁⊥BD，又AA₁∩AC=A，
所以BD⊥平面CAA₁又A₁C?平面CAA₁
所以A₁C⊥BD，
同理可证A₁C⊥BC₁，又 BC₁交BD于一点B，
所以A₁C⊥平面BC₁D．
（2）解：建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A（0，0，0）、D₁（0，1，1）、B₁（1，0，1）、C₁（1，1，1），向量 $\overrightarrow{{C}_{1}A}$=（-1，-1，-1），$\overrightarrow{{AD}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{{AB}_{1}}$=（1，0，1）．
设 $\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面AB₁D₁的法向量，于是，有 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AD}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AB}_{1}}=0\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}y+z=0\\ a+z=0\end{array}\right.$．
令z=-1，得x=1，y=1．于是平面AB₁D₁的一个法向量是 $\overrightarrow{n}$=（1，1，-1）．
因此，C₁到平面AB₁D₁的距离d=$\left|\frac{\overrightarrow{{C}_{1}A}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\right|$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题着重考查了异面直线的判定，直线与平面位置关系中的垂直问题，证明思路是：要证线面垂直，需证线线垂直，在证明线线垂直过程中，往往需要通过证明线面垂直来实现，要注意线面垂直、线线垂直间的相互转化．同时考查点到平面的距离的求法，考查计算能力．