Question

14．在△ABC中，已知tanA=$\frac{1}{2}$，tanB=$\frac{1}{3}$，则最长边与最短边的比为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由三角形的内角和定理得到C=π-（A+B），然后利用两角和与差的正切函数公式及诱导公式化简，将tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，得到C为钝角，根据大角对大边可得c为最大边，根据正切函数的单调性由tanB小于tanA，得到B小于A，即b小于a，可得最短的变为b，根据tanB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinB，sinC和c的值，利用正弦定理即可求出最长边与最短边的比．

解答 解：tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-1，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{3}{4}π$，
∵0＜tanB＜tanA，
∴A、B均为锐角，则B＜A，
又C为钝角，∴最短边为b，最长边长为c，
由tanB=$\frac{1}{3}$，解得sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
由$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得$\frac{c}{b}=\frac{sinC}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\sqrt{5}$
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正切函数公式，诱导公式，三角形的边角关系，同角三角函数间的基本关系，以及正弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．