Question

2．已知双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，过点P（2，1）作一直线于A，B两点，若P是AB的中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）设出直线AB的方程与双曲线方程联立消去y，设两实根为x₁，x₂，利用韦达定理可表示出x₁+x₂的值，根据P点坐标求得x₁+x₂=4进而求得k，则直线AB的方程可得；
（2）利用弦长公式求得|AB|．

解答 解：（1）易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y-1=k（x-2）
代入x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，整理得（3-k²）x²+2k（2k-1）x-4（k²-k+1）=0
设此方程两实根为x₁，x₂，则x₁+x₂=$\frac{2k（2k-1）}{{k}^{2}-3}$
又P（2，1）为AB的中点，
所以$\frac{2k（2k-1）}{{k}^{2}-3}$=4
解得k=6
当k=6时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，
所求直线AB的方程为y-1=6（x-2）化成一般式为6x-y-11=0．
（2）|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{37}$×$\sqrt{16-4×\frac{31×4}{33}}$=$\frac{4\sqrt{2442}}{33}$．

点评 本题主要考查了双曲线的应用，圆锥曲线与直线的关系，弦长公式等．考查了学生综合分析和推理的能力．