Question

7．设点P（x，y）为曲线|5x+y|+|5x-y|=20上任意一点，求x²-xy+y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 当$\left\{\begin{array}{l}{5x+y≥0}\\{5x-y≥0}\end{array}\right.$时，曲线|5x+y|+|5x-y|=20化为x=2，-10≤y≤10；同理其它情况分别化为：x=-2，-10≤y≤10；y=10，-2≤x≤2；y=-10，-2≤x≤2．
画出图象为四边形，即可得出．

解答 解：当$\left\{\begin{array}{l}{5x+y≥0}\\{5x-y≥0}\end{array}\right.$时，曲线|5x+y|+|5x-y|=20化为x=2，-10≤y≤10；
同理其它情况分别化为：x=-2，-10≤y≤10；y=10，-2≤x≤2；y=-10，-2≤x≤2．
画出图象为四边形．
当x=2，y=-10或x=-2，y=10时，x²-xy+y²取得最大值=2²+20+10²=124．
当x=±2，y=0时，x²-xy+y²取得最小值=2²=4．

点评 本题考查了含绝对值的方程与图象的关系、分类讨论思想方法，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．