Question

15．设f（n）=（$\frac{1+i}{1-i}$）ⁿ+（$\frac{1-i}{1+i}$）ⁿ（n∈N^*），则集合{x|x=f（n）}的子集有（　　）

• A． 2个
• B． 4个
• C． 8个
• D． 无穷多个

Answer 1

分析 由复数代数形式的除法运算化简$\frac{1+i}{1-i}$和$\frac{1-i}{1+i}$，得到f（n）=iⁿ+（-i）ⁿ，分四种情况分别求出f（n）的值，则答案可求．

解答 解：∵$\frac{1+i}{1-i}=\frac{（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}=\frac{2i}{2}=i$，
∴$\frac{1-i}{1+i}=\frac{1}{i}=-i$．
根据虚数单位i的幂运算性质，有f（n）=（$\frac{1+i}{1-i}$）ⁿ+（$\frac{1-i}{1+i}$）ⁿ=iⁿ+（-i）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{2（n=4k，k∈Z）}\\{0（n=4k+1，k∈Z）}\\{-2（n=4k+2，k∈Z）}\\{0（n=4k+3，k∈Z）}\end{array}\right.$，
故f（n）有3个不同的值．
∴集合{x|x=f（n）}的子集有2³=8个．
故选：C．

点评 本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了虚数单位i的幂运算性质，体现了分类讨论的思想方法，是基础题．