Question

20．已知△ABC中，a=4，b+c=5，tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 由条件利用两角和的正切公式求得tan（A+B）=-$\sqrt{3}$，可得C=$\frac{π}{3}$，再利用余弦定理求得b、c的值，从而求得△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•ab•sinC的值．

解答 解：△ABC中，∵tanA+tanB+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$tanAtanB，∴tanA+tanB=$\sqrt{3}$（tanAtanB-1），
tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$，∴A+B=$\frac{2π}{3}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
再由a=4，b+c=5，利用余弦定理可得 cosC=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{16+5（b-c）}{8b}$，可得5c-b=16，
∴b=$\frac{3}{2}$，c=$\frac{7}{2}$，∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•ab•sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查两角和的正切公式、余弦定理的应用，属于基础题．