Question

8．若x²-2lnx≥2px-$\frac{1}{x{\;}^{2}}$任意x∈（0，1]恒成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数利用导数研究函数的最值即可．

解答 解：由x²-2lnx≥2px-$\frac{1}{x{\;}^{2}}$在x∈（0，1]恒成立，
即转化为2p≤x+$\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{2lnx}{x}$在x∈（0，1]内恒成立，
令h（x）=x+$\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{2lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{{x}^{4}-2{x}^{2}-3+2{x}^{2}lnx}{{x}^{4}}$，
∵x∈（0，1]，
∴x⁴-3＜0，-2x²＜0，2x²lnx＜0，
∴h′（x）＜0，
即h（x）为（0，1）上为减函数．
∴当x=1时，h（x）取得最小值h（1）=1+1=2，
则2p≤2，
解得p≤1
故p的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以求函数恒成立问题，利用参数分离法以及导数求函数的最值是解决本题的关键．