Question

19．已知a≥0，函数f（x）=（x²-2ax）e^x在[-1，1]是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 首先，求导数，然后，令导数为非正数，结合二次函数知识求解．

解答 解：∵f′（x）=[x²-2（a-1）x-2a]•e^x，
∵f（x）在[-1，1]上是单调减函数，
∴f′（x）≤0，x∈[-1，1]，
∴x²-2（a-1）x-2a≤0，x∈[-1，1]，
设g（x）=x²-2（a-1）x-2a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2（a-1）-2a≤0}\\{1-2（a-1）-2a≤0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤0}\\{4a≥3}\end{array}\right.$，
又a≥0，
∴a$≥\frac{3}{4}$，
即有a的取值范围是[$\frac{3}{4}$，+∞）．

点评 本题重点考查导数在判断函数单调性中的应用，常常利用等价转化思想，将问题转化成二次函数问题，运用二次函数的图象和性质，属于中档题．