Question

10．如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，且AB=BE=$\frac{1}{2}$AF=1，BE∥AF，AB⊥AF，∠CBA=$\frac{π}{4}$，BC=$\sqrt{2}$，P为DF的中点．
（1）求证：PE∥平面ABCD；
（2）求三棱锥A-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点M，连接MP，MB，利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理可得：四边形BEPM是平行四边形，于是PE∥BM，再利用线面平行的判定定理可得：PE∥平面ABCD．
（2）在△ABC中，由余弦定理可得：AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=1，因此AC²+AB²=BC²，AC⊥AB．利用面面垂直的性质定理可得：AC⊥平面ABEF，
再利用V_A-BCE=V_C-ABE=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}×AC$即可得出．

解答 （1）证明：取AD的中点M，连接MP，MB，
∵P为DF的中点，∴$MP\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AF$，
又∵$BE\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AF$，∴$BE\underset{∥}{=}MP$，
∴四边形BEPM是平行四边形，
∴PE∥BM，
又PE?平面ABCD，BM?平面ABCD．
∴PE∥平面ABCD．
（2）解：在△ABC中，由余弦定理可得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=$1+（\sqrt{2}）^{2}-2×1×\sqrt{2}×cos\frac{π}{4}$=1，
∴AC=1，
∴AC²+AB²=BC²，
∴AC⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴AC⊥平面ABEF，
∵${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}BE•AB$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$．
∴V_A-BCE=V_C-ABE=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}×AC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理与性质定理、线面平行的判定定理、余弦定理、面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．