Question

15．已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x²+y²=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．
（Ⅰ）若k=1，且|AB|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，求实数a的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，即可求实数a的值；
（Ⅱ）根据$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{3{x}^{2}+{y}^{2}=a}\end{array}\right.$得4x²+2x+1-a=0，
则x₁+x₂=$-\frac{1}{2}$，x₁x₂=$\frac{1-a}{4}$，
则|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{2}•\sqrt{a-\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，解得a=2．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{3{x}^{2}+{y}^{2}=a}\end{array}\right.$，得（3+k²）x²+2kx+1-a=0，
则x₁+x₂=-$\frac{2k}{3+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1-a}{3+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$得（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），
解得x₁=-2x₂，代入上式得：
x₁+x₂=-x₂=-$\frac{2k}{3+{k}^{2}}$，则x₂=$\frac{2k}{3+{k}^{2}}$，
${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|OC|•|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{3}{2}|{x}_{2}|=\frac{3|k|}{3+{k}^{2}}$=$\frac{3}{\frac{3}{|k|}+|k|}$$≤\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当k²=3时取等号，此时x₂=$\frac{2k}{3+{k}^{2}}$，x₁x₂=-2x₂²=-2×$\frac{4{k}^{2}}{（3+{k}^{2}）^{2}}=-\frac{2}{3}$，
又x₁x₂=$\frac{1-a}{3+{k}^{2}}$=$\frac{1-a}{6}$，
则$\frac{1-a}{6}$=-$\frac{2}{3}$，解得a=5．
所以，△AOB面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时椭圆的方程为3x²+y²=5．

点评 本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．