Question

6．设函数f（x）=|2x+1|+|x-a|（a∈R）．
（1）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集；
（2）当a＜-$\frac{1}{2}$，若存在x≤-$\frac{1}{2}$使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 对第（1）问，将a=2代入f（x）中，分“x≥2”“$-\frac{1}{2}＜x＜2$”“x≤$-\frac{1}{2}$”去掉绝对值符号进行讨论，化简不等式f（x）＜4，即得其解集；
对第（2）问，令g（x）=f（x）+x，因存在x≤-$\frac{1}{2}$，使得f（x）+x≤3成立，即g（x）有解，只需[g（x）]_min≤3，作出g（x）的图象，用a表示g（x）的最小值，解关于a的不等式即可得a的取值范围．

解答 解：（1）令|2x+1|=0，得$x=-\frac{1}{2}$；令|x-2|=0，得x=2．
①当x≥2时，原不等式化为2x+1+x-2＜4，即x＜$\frac{5}{3}$，得x∈∅；
②当$-\frac{1}{2}＜x＜2$时，原不等式化为2x+1+2-x＜4，即x＜1，得$-\frac{1}{2}＜x＜1$；
③当x≤$-\frac{1}{2}$时，原不等式化为-2x-1+2-x＜4，即x＞-1，得-1＜x≤$-\frac{1}{2}$．
综合①、②、③，得原不等式的解集为{x|-1＜x＜1}．
（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤$-\frac{1}{2}$时，g（x）=|x-a|-x-1，
由a＜-$\frac{1}{2}$，得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-a，a＜x≤-\frac{1}{2}}\\{-2x+a-1，x≤a}\end{array}\right.$，
由于存在x≤$-\frac{1}{2}$，使f（x）+x≤3成立，即g（x）≤3在（-∞，$-\frac{1}{2}$]内有解，
只需[g（x）]_min≤3即可．
作出g（x）的大致图象，易知，[g（x）]_min=g（a）=-a-1，
∴-a-1≤3，得a≥-4．

点评 本题考查了含绝对值不等式的解法，以及含参数的不等式有解问题的求解，关键是善于运用分类讨论思想及数形结合思想进行求解．
（1）分类讨论时，同一类中取交集，类与类之间取并集．
（2）常数 m≥g（x）有解，只需m≥[g（x）]_min；m≤g（x）有解，只需m≤[g（x）]_max．