Question

14．已知数列{a_n}是各项均为正数的等差数列，且lga₁，lga₂，lga₄成等差数列，若b_n=$\frac{1}{{a}_{{2}^{n}}}$（n=1，2，3，…），求证：数列{b_n}为等比数列．

Answer 1

分析 根据等差数列的定义和性质，建立方程关系，利用等比数列的定义进行证明即可．

解答 证明：∵数列{a_n}是各项均为正数的等差数列，且lga₁，lga₂，lga₄成等差数列，
若公差d≠0时，lga₁+lga₄=2lga₂，
即lga₁a₄=lga₂²，
即a₁a₄=a₂²，
则a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²，
解得a₁=d，则a_n=a₁+（n-1）d=na₁，（a₁＞0），
则当n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{{2}^{n-1}}}{{a}_{{2}^{n}}}$=$\frac{{2}^{n-1}{a}_{1}}{{2}^{n}{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$为常数，
故数列{b_n}为等比数列．
当公差d=0时，也满足条件．

点评 本题主要考查等比数列的证明以及等差数列的应用，利用定义法是解决本题的关键．