Question

5．线段AB与平面α平行，α的斜线A₁A、B₁B与α所成的角分别为30°和60°，且∠A₁AB=∠B₁BA=90°，AB=2，A₁B₁=4，求AB与平面α的距离．

Answer 1

分析 求直线到平面的距离常转化为求点到平面的距离．作AG⊥α于点G，BH⊥α于点H，连接A₁G、B₁H、GH，作B₁C⊥A₁G于点C，则通过解三角形可得AG的长度．另外，此题还要考虑到当A₁、B₁分居平面AH两侧时，AG的长度．故本题AB与平面α的距离有两个答案．

解答 解：如图，作AG⊥α于点G，BH⊥α于点H
连接A₁G、B₁H、GH，
∵A₁A⊥AB，
∴A₁G⊥GH．
同理，B₁H⊥GH．
作B₁C⊥A₁G于点C，则B₁C=GH=AB=2，∠AA₁G=30°，∠BB₁H=60°．
设B₁H=x，则CG=B₁H=x，AG=BH=$\sqrt{3}$x，A₁G=3x=x+A₁C=x+$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$．
所以x=$\sqrt{3}$，AG=BH=3．
当A₁、B₁分居平面AH两侧时，类似可得AG=BH=$\frac{3}{2}$．
故求AB与平面α的距离为3或$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查直线到平面的距离、点到平面的距离、直线与平面所成的角等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．