Question

13．已知函数f（x）=ln（x+b）+$\frac{ax}{x+1}$的图象在点（0，f（0））处的切线方程式3x-y=0，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，和切点，由切线方程可得a，b的方程，解得a，b，即可得到f（x）的解析式．

解答 解：函数f（x）=ln（x+b）+$\frac{ax}{x+1}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{x+b}$+$\frac{a}{（x+1）^{2}}$，
即有在点（0，f（0））处的切线斜率为k=$\frac{1}{b}$+a，
由于在点（0，f（0））处的切线方程为3x-y=0，
则lnb+0=0，$\frac{1}{b}$+a=3，
解得b=1，a=2，
则有f（x）=ln（x+1）+$\frac{2x}{x+1}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义和直线方程的形式，正确求导是解题的关键．