Question

1．设函数f（x）的定义域为R，且f（0）=-3，并且对任意实数x，y都有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y=2^f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）令y=x，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据复合函数单调性之间的关系，利用指数函数和一元二次函数的性质即可求函数y=2^f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（0）=-3，f（x-y）=f（x）-y（2x-y+2）．
∴令y=x得f（0）=f（x）-x（2x-x+2）=-3，
即f（x）=x（x+2）-3=x²+2x-3．
（2）∵f（x）=x²+2x-3．
∴设t=f（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4≥-4，
∴y=2^f（x）≥2^-4=$\frac{1}{16}$，
故函数的值域为[$\frac{1}{16}$，+∞）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键．结合一元二次函数和指数函数的单调性是解决函数值域的基本方法．