Question

11．对于函数f（x），g（x），如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数f（x）和g（x）在点P处相切，称点P为这两个函数的切点．设函数f（x）=ax²-bx（a≠0），g（x）=lnx．
（Ⅰ）当a=-1，b=0时，判断函数f（x）和g（x）是否相切？并说明理由；
（Ⅱ）已知a=b，a＞0，且函数f（x）和g（x）相切，求切点P的坐标；
（Ⅲ）设a＞0，点P的坐标为$（\frac{1}{e}，-1）$，问是否存在符合条件的函数f（x）和g（x），使得它们在点P处相切？若点P的坐标为（e²，2）呢？（结论不要求证明）

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1，b=0时，函数f（x）和g（x）不相切．求出a=-1和b=0的函数式，求出导数，由导数符号即可得到结论；
（Ⅱ）设P（s，t），则lns=as²-as①，f′（s）=g′（s），联立消掉a可得关于s的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一s值，进而可求P的坐标；
（Ⅲ）当点P的坐标为（$\frac{1}{e}$，-1）时，存在；当点P的坐标为（e²，2）时，不存在函数f（x）和g（x），使得它们在点P处相切．

解答 解：（Ⅰ）结论：当a=-1，b=0时，函数f（x）和g（x）不相切．
理由如下：由条件知f（x）=-x²，
由g（x）=lnx，得x＞0，
又因为 f'（x）=-2x，$g'（x）=\frac{1}{x}$，
所以当x＞0时，f'（x）=-2x＜0，$g'（x）=\frac{1}{x}＞0$，
所以对于任意的x＞0，f'（x）≠g'（x）．
当a=-1，b=0时，函数f（x）和g（x）不相切．
（Ⅱ）若a=b，a＞0，则f'（x）=2ax-a，
$g'（x）=\frac{1}{x}$，
设切点坐标为（s，t），其中s＞0，
由题意得，as²-as=lns①，$2as-a=\frac{1}{s}$②，
由②，得 $a=\frac{1}{s（2s-1）}$，
代入①，得 $\frac{s-1}{2s-1}=lns$．（*）                   
因为 $a=\frac{1}{s（2s-1）}＞0$，且s＞0，
所以 $s＞\frac{1}{2}$．
设函数 $F（x）=\frac{x-1}{2x-1}-lnx$，$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$ $x∈（0，\frac{1}{2}）∪（\frac{1}{2}，+∞）$，
则 $F'（x）=\frac{-（4x-1）（x-1）}{{x{{（2x-1）}^2}}}$．
令F'（x）=0 F'（x）=0，解得x=1或$x=\frac{1}{4}$（舍）．
当x变化时，F'（x）与F（x）的变化情况如下表所示，

x	$（\frac{1}{2}，1）$	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗	极大值	↘

所以当x=1时，F（x）取到最大值F（1）=0，且当$x∈（\frac{1}{2}，1）∪（1，+∞）$时F（x）＜0．
因此，当且仅当x=1时F（x）=0．
所以方程（*）有且仅有一解s=1．
于是t=lns=0，
因此切点P的坐标为（1，0）．
（Ⅲ）当点P的坐标为（$\frac{1}{e}$，-1）时，存在符合条件的函数f（x）和g（x），
使得它们在点P处相切；                                                    
当点P的坐标为（e²，2）时，不存在符合条件的函数f（x）和g（x），
使得它们在点P处相切．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查运用导数求单调区间和极值、最值，考查构造函数的思想方法，属于中档题．