Question

20．已知函数f（x）=ax+2，g（x）=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0．
（1）若a=2时，求曲线g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（2）是否存在负数a，使f（x）≤g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求函数g（x）的导函数g′（x），再求g′（1）即得到线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率，最后由点斜式写出切线方程；
（2）构造新函数h（x）=f（x）-g（x），f（x）≤g（x）对一切正数x都成立，即h（x）≤0对一切正数x都成立，即h（x）的最大值小于或等于零，从而将问题转化为求函数h（x）的最大值问题，利用导数求新函数的最值即可．

解答 解：（1）由题意可知：当a=2时，g（x）=4x²-lnx+2，
则g′（x）=8x-$\frac{1}{x}$，
即有曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率k=g'（1）=7，
又g（1）=6，
则有曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线的方程为y-6=7（x-1），
即为y=7x-1；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a²x²（x＞0）
假设存在负数a，使得f（x）≤g（x）对一切正数x都成立．
即：当x＞0时，h（x）的最大值小于等于零．
h′（x）=a+$\frac{1}{x}$-2a²x=$\frac{-2{a}^{2}{x}^{2}+ax+1}{x}$（x＞0），
令h'（x）=0可得：x₁=$\frac{1}{a}$（舍），x₂=-$\frac{1}{2a}$，
当0＜x＜-$\frac{1}{2a}$时，h'（x）＞0，h（x）单增；
当x＞-$\frac{1}{2a}$时，h'（x）＜0，h（x）单减．
所以h（x）在x=-$\frac{1}{2a}$处有极大值，也是最大值．
即有h（x）_max=h（-$\frac{1}{2a}$）≤0，
解得a≤-$\frac{1}{2}$${e}^{-\frac{3}{4}}$，
所以负数a存在，它的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{2}$${e}^{-\frac{3}{4}}$）．

点评 本题考查导数的几何意义，导数在函数最值问题中的应用，不等式恒成立问题的一般解法，解题时要认真计算，不断总结．